(5-100)1. 离散时间系统函数的定义
离散时间系统的系统函数定义为系统的零状态响应的z变换和激励的z变换之比，即
(5-100)
如果描述离散时间系统的差分方程为
(5-101)
那么，根据z变换的性质，很容易求得系统函数为
(5-102)
对式(5-102)表示的系统函数的分子分母进行因式分解得
(5-103)
式中
是系统函数
的零点，
是系统函数的极点。的零极点图称为系统零极点图。
下面讨论系统函数与系统的单位取样响应的关系。
由前面知道，系统的零状态响应是系统单位取样响应与激励的卷积，即
(5-104)
对式(5-104)两边进行z变换，并利用z变换的时域卷积性质有
(5-105)
对照式子(5-100)，立即知道
(5-106)
式(5-106)说明，系统函数与系统的单位取样响应
是一个z变换对。式(5-106)经常用作系统函数的定义，也常用于由系统函数求系统的单位取样响应。
2. 系统函数与频率响应
前面知道，离散时间系统的频率响应
是单位取样函数的傅里叶变换，而根据这小节我们又知道，系统函数和是一z变换对，所以，容易得到下面系统函数与频率响应的关系式
(5-107)
就是说，系统的单位取样响应在单位圆上的z变换就是系统的频率响应。
3. 系统函数与系统稳定性
单位取样响应绝对可和，意味着系统函数在单位圆上收敛，所以这时系统是稳定的。反之，如果系统稳定，则系统函数在单位圆上收敛。换言之，系统函数收敛域包含单位圆是系统稳定的充分必要条件。
显然，一个稳定的因果系统的系统函数的收敛域应该是
(5-108)
由此可以得出一个重要结论，即，因果系统的系统函数的所有极点都在单位圆内是因果系统稳定的充分必要条件。
下面介绍Jury方法来判断离散时间因果系统是否稳定。该方法直接验证系统函数分母多项式
的根是否全部位于z平面的单位圆内，而不用求解方程的根。
根据
的系数列出Jury表如下
行
Jury表中的行数成对出现，第1行的元素是的全部系数，第2行是把第1行的元素反序排列，第3行元素按下列公式计算
，
，
，...
第4行是把第3行的各元素反序排列，将第3、4两行用同样的方法计算第5行元素为
，
，
，...
第6行又是第5行各元素反序排列。且每两行比前两行少一列，以此类推，直到第
行为止。
Jury准则指出，
的根都在z平面单位圆内部的充要条件为：
(5-109)
(5-110)
以及Jury列表的每一奇数行的第一个元素大于最后一个元素的绝对值，即
(5-111)
z变换可以用于求解系统的差分方程。由于我们主要只是讨论了双边z变换，所以，在求解差分方程时，要把零输入响应和零状态响应分开来求解，零输入响应仍然用时域求解法，而z变换法只用于求解系统的零状态响应。在用z变换法求解系统的零状态响应时，主要根据关系
来求解，下面用例子说明。